关于 q-分布函数的相关性：受限随机游走者的返回时间分布

关于将 $q$-统计应用于存在某种强关联程度的非平衡非遍历系统，已有大量文献。本文研究在整数集 $\{0,1,2,...,L\}$ 上、具有依赖于位置的转移概率 $|n/L|^a$ 的随机游走，其首次返回零点的时间分布 $P_R(0,t)$。我们发现对于所有 $a\in[0,2]$，$P_R(0,t)$ 均可用 $q$-指数拟合，但仅当 $a=1$ 时，在极限 $L\rightarrow\infty$ 下 $P_R(0,t)$ 精确地由 $q$-指数给出。这是一个引人注目的结果，因为相应连续模型的精确解析解将 $P_R(0,t)$ 表示为贝塞尔函数之和，其对 $a$ 具有平滑依赖，从中我们无法辨识出 $a=1$ 有特殊意义。然而，通过离散主方程的高精度数值迭代，我们确证仅当 $a=1$ 时 $P_R(0,t)$ 精确为 $q$-指数，且对该参数值的微小偏离会使分布偏离 $q$-指数。要确定此结果的原因以及 $q$-统计的适用性和其领域，无疑还需进一步研究。