具有可和势的平衡态的完整 $L^q$ 谱与回归时间大偏差

设 $(X_k)_{k\geq 0}$ 为具有联合分布 $\mu$ 的平稳遍历过程，其中随机变量 $X_k$ 在有限集 $\mathcal{A}$ 中取值。设 $R_n$ 为该过程首次重复其前 $n$ 个输出符号的时间。众所周知，$\frac{1}{n}\log R_n$ 几乎必然收敛于该过程的熵。$R_n$ 的精细性质（大偏差、多重分形等）被编码在回归时间 $L^q$ 谱中，其定义为 $$\mathcal{R}(q)=\lim_n\frac{1}{n}\log\int R_n^q \,d\mu\quad (q\in\mathbb{R})$$ （若极限存在）。我们考虑 $(X_k)_{k\geq 0}$ 服从具有可和变差的势 $\varphi:\mathcal{A}^{\mathbb{N}}\to\mathbb{R}$ 的平衡态分布的情形，并证明 $$\mathcal{R}(q) = \begin{cases} P((1-q)\varphi) & \text{for}\;\; q\geq q_\varphi^*\\ \sup_\eta \int \varphi \, d\eta & \text{for}\;\; q<q_\varphi^{*} \end{cases}$$ 其中 $P((1-q)\varphi)$ 是 $(1-q)\varphi$ 的拓扑压，上确界在所有平移不变测度上选取，$q_\varphi^*$ 是 $P((1-q)\varphi) =\sup_\eta \int \varphi \, d\eta$ 的唯一解。出乎意料的是，该谱与 $\mu_\varphi$ 的 $L^q$ 谱（即 $P((1-q)\varphi)$）不重合，且一般而言与等待时间 $L^q$ 谱也不重合。事实上，回归时间 $L^q$ 谱与等待时间 $L^q$ 谱重合当且仅当 $\varphi$ 的平衡态是最大熵测度。作为副产品，我们还改进了 $\frac{1}{n}\log R_n$ 的大偏差渐近性。