无限测度保持系统中小集的返回时间与击中时间分布

我们研究在保持无限测度 $\mu$ 的递归遍历动力系统中，具有 $\mu(E_{k})\rightarrow0$ 的小集 $E_{k}$ 的返回时间和击中时间分布的收敛性。一些在有限测度情形下简单的性质在此零递归设定中失效。然而，在存在游荡率正则变易指数为 $1-\alpha$（其中 $\alpha\in(0,1]$）的一致集 $Y$ 时，存在一个适用于 $Y$ 的所有子集的标度函数。在此情形下，我们证明 $E_{k}$ 的返回分布收敛当且仅当相应的击中时间分布收敛，并推导出两个极限律之间的显式关系。讨论了该结果的一些推论。特别地，这导致了收敛到 $\mathcal{E}^{1/\alpha}\,\mathcal{G}_{\alpha}$ 的改进充分条件，其中 $\mathcal{E}$ 和 $\mathcal{G}_{\alpha}$ 是独立随机变量，$\mathcal{E}$ 服从指数分布，$\mathcal{G}_{\alpha}$ 服从阶为 $\alpha$ 的单侧稳定律（且 $\mathcal{G}_{1}:=1$）。同一原理也揭示了在典型零递归区间映射的双曲周期点处出现的（不同于上述的）极限律。我们还推导了几乎递归的 $\alpha=0$ 情形的类似结果。