平稳过程最大值出现时间的分布

我们考虑一个时长为 $T$ 的一维平稳随机过程 $x(\tau)$。我们研究 $x(\tau)$ 达到其全局最大值的时间 $t_{\rm m}$ 的概率密度函数（PDF）$P(t_{\rm m}|T)$。通过使用路径积分方法，我们计算了若干平衡与非平衡平稳过程的 $P(t_{\rm m}|T)$，包括 Ornstein-Uhlenbeck 过程、具有随机重置的布朗运动以及单个受限跑跳粒子。对于一大类对应于受限势中扩散的平衡平稳过程，我们证明对于大 $T$，标度化分布 $P(t_{\rm m}|T)$ 具有普适形式（与势的细节无关）。该普适分布在“体”内是均匀的，即对于 $0 \ll t_{\rm m} \ll T$，并且在 $t_{\rm m} \to 0$（以及 $t_{\rm m} \to T$）时具有非平凡的边界标度行为，我们精确计算了后者。此外，我们证明对于任意平衡过程，PDF $P(t_{\rm m}|T)$ 关于 $t_{\rm m}=T/2$ 对称，即 $P(t_{\rm m}|T)=P(T-t_{\rm m}|T)$。该对称性为判断给定平稳时间序列 $x(\tau)$ 是否处于平衡提供了一种简单方法。