扰动摆方程的极限环个数

我们考虑柱面上形如 $\ddot x+\sin(x)= \varepsilon \sum_{s=0}^{m}{Q_{n,s} (x)\, \dot x^{s}}$ 的扰动类摆方程，其中 $Q_{n,s}$ 为 $n$ 次三角多项式，并依据 $m$ 和 $n$ 研究从非扰动情形 $\varepsilon=0$ 的周期轨道分岔出的极限环个数。我们的首个结果给出了其关联的一阶 Melnikov 函数在振荡区和旋转区零点个数的上界。这些上界通过将相应的阿贝尔积分表示为多项式以及第一类和第二类完全椭圆函数而得到。一些进一步的结果通过识别被证明为 Chebyshev 系统的子族，给出了这些积分零点个数的精确界。