从随机扰动中心分岔出的极限环个数

我们考虑从随机扰动的线性中心分岔出的极限环的平均个数，其中扰动由系数独立的随机（二元）多项式组成。通过 Poincaré 首次回归映射的经典扰动理论，该问题可化为一个随机\emph{单变量}多项式 $\displaystyle f_n(x) = \sum_{m=0}^n c_m \xi_m x^m$ 的实零点问题，其系数 $\xi_m$ 独立、均值为零、方差为 1 且 $c_m \sim m^{-1/2}$。该多项式属于临界状态下的\emph{广义 Kac 多项式}类。我们给出了实零点平均个数的渐近性并回答了关于分岔极限环的问题。此外，我们给出了亚临界状态下实根平均个数的正确阶。