曲率驱动流下演化空间临界点的单调性

我们描述了在曲率驱动流下演化的光滑曲线（定义为距固定原点 $O$ 的标量距离 $r$）的空间临界点数量 $N(t)$ 的变化。在后者中，沿曲面法线方向的速度 $v$ 仅依赖于曲率 $\kappa$。在假设仅发生_generic_ 鞍结分岔的情况下，我们表明若偏导数 $v_{\kappa}$ 为正，则 $N(t)$ 将减小；若为负，则 $N(t)$ 将增加（定理 1）。第 5 节提供了对_generic_ 性假设的论证。对于嵌入三维空间的曲面，曲率驱动流下的法向速度 $v$ 仅依赖于主曲率 $\kappa, \lambda$。在此，我们在附加假设（即三阶偏导数可用期望值和协方差为零的随机变量近似）下证明了较弱的（随机）定理 2。定理 2 是 Kuijper 和 Florack 关于热方程结果的推广。我们针对参考点与重心重合的情况提出了一个猜想，并通过中间结果和实例对该猜想进行了论证。由于碰撞磨损模型由满足 $v_{\kappa},v_{\lambda}>0$ 的偏微分方程控制，我们的结果表明静态平衡点数量的减少是某些自然过程的特征。