仿射 quermassintegral 单调性问题

Lutwak 的仿射 quermassintegral 理论是现代仿射布兰克-孔岛理论的基础组成部分。该理论于 1980 年代提出，提供了经典 quermassintegral 的仿射类比，并催生了一系列尖锐的仿射等积不等式。该计划的核心问题之一，追溯到 Lutwak 于 1988 年的工作，涉及归一化 $L^{-n}$-矩 quermassintegral $I_{k,-n}$ 的 Alexandrov--Fenchel 型单调性原理。以以下形式预测该原理：$$I_{m,-n}(K)^{1/m}\ge I_{k,-n}(K)^{1/k}, \qquad 1\le m<k\le n .$$ 该问题被记录在 Gardner 于 2006 年的几何测绘书中的问题列表中，与顶维数 $k=n$ 的比较由 Milman 和 Yehudayoff 在其 2023 年 JAMS 论文中建立。我们证明该提议的单调性在完整范围内不成立。更准确地说，对于每一个满足 $1\le m<k\le n-1$ 且 $n>(m+2)(k+2)-2$ 的整数三元组 $m,k,n$，存在一个原点对称的 $C^2_+$ 凸体 $K\subset\mathbb R^n$，使得 $$I_{m,-n}(K)^{1/m} < I_{k,-n}(K)^{1/k}.$$ 该例子通过对欧几里得球进行任意小的四次球谐扰动获得。在正面上，我们证明了端点链在三维中成立：对于每一个凸体 $K\subset\mathbb R^3$，$$I_{1,-3}(K)\ge I_{2,-3}(K)^{1/2}\ge I_{3,-3}(K)^{1/3}=1.$$ 两种非平凡不等式的等号情况恰好是椭圆体，除去平移和非奇异仿射变换。