拟凹函数的 Quermassintegrals 与广义 Pr\'ekopa-Leindler 不等式

我们将凸体 Minkowski 理论中众所周知的 quermassintegrals 概念推广到函数情形。我们在欧几里得空间上定义的拟凹函数类中进行研究，并关注由其 $\alpha$-凹函数子类给出的层次结构。在此设定下，我们研究了函数 quermassintegrals 的最相关特征，并表明它们继承了其经典几何对应物的基本性质。作为第一个主要结果，我们证明了一个 Steiner 型公式，该公式通过选择合适的单位球函数等价物而成立。随后，我们建立了关于 quermassintegrals 和其他广义双曲泛函的凹性不等式，这些不等式推广了著名的 Pr\'ekopa-Leindler 和 Brascamp-Lieb 不等式。我们转置到此函数设定的其他问题包括：Cauchy-Kubota 型积分几何公式、赋值性质以及等周/Uryshon 型不等式。