割线锥的不可约性及其在线性正规性中的应用

设 $Y \subset \P^r$ 为正规非退化 m 维子簇，令 $\sigma(Y)$ 表示子簇 $Z \subset Y_{smooth}$ 的最大维数，使得 $Z$ 包含 Y 上某个除子的一个一般点，且对所有 $y \in Z$ 切平面 $T_y Y$ 都包含于一个固定超平面中。本文研究其到 $\P^{r-1}$ 的一般投影的双层 locus $D \subset Y$，证明若 Y 的割线簇为整个空间且 $\sigma(Y) < 2m - r + 1$，则 D 不可约。应用 Zak 切触定理，我们推出当 $m > 2(r-1)/3$ 时 D 不可约。后者蕴涵 Zak 线性正规性定理的一个版本。