光滑射影簇中小余维数的子簇

设 $X\subsetneq\mathbb{P}_{\mathbb{C}}^{N}$ 为包含一个 $m$ 维子簇 $Y$ 的 $n$ 维非退化光滑射影簇。假设 $m>\frac{n}{2}$ 且 $X$ 为完全交，或者 $m\geq\frac{N}{2}$，我们证明 $\deg(X)|\deg(Y)$ 且 $\mathrm{codim}_{\mathrm{span}(Y)}Y\geq \mathrm{codim}_{\mathbb{P}^{N}}X$，其中 $\mathrm{span}(Y)$ 是 $Y$ 的线性张成。这些界是尖锐的。作为一个应用，我们对由通过一点的 $m\geq[\frac{n}{2}]+1$ 维二次曲面扫出的光滑射影 $n$ 维二次簇进行了分类。