关于第一和第二 Painlevé方程的几何

在本文中，我们\emph{显式}计算了将通用二阶微分方程 $y''= f(x, y, y')$ 映射到 Painlevé第一方程 $y''=6y^2+x$（或 Painlevé第二方程 ${y''=2 y^{3}+yx+ \alpha}$）的变换。该坐标变换是 $f$ 及其偏导数的函数，并非对所有 $f$ 都存在；函数 $f$ 必须满足某些定义所考虑 Painlevé方程等价类的条件。在本工作中，我们不考虑这些条件，存在性问题按如下方式\emph{在线}解决：如果输入方程已知，则只需将该坐标变换专用于此方程，并通过简单代入测试等价性是否成立。本工作的另一创新在于利用离散对称性求解等价问题。