关于 Weyl 和余循环的遍历性

对 θ ∈ [0,1]，我们考虑映射 T_α: T^2 → T^2 由 T_θ(x,y)=(x+θ,y+2x+θ) 给出。斜积 f_α: T^2 × C → T^2 × C 由 f_θ(x,y,z)=(T_θ(x,y),z+e^{2π i y}) 给出，生成所谓的 Weyl 和余循环 a_α(x,n) = ∑_{k=0}^{n-1} e^{2π i(k^2θ+kx)}，因为 f_α 的第 n 次迭代写作 f_α^n(x,y,z)=(T_α^n(x,y),z+e^{2π iy} a_α(2x,n))。在本注记中，我们改进了 Forrest 在 [forrest2,forrest] 中关于 x ∈ T 的复序列 {a_α(x,n)}_{n∈N} 的稠密性的研究，通过证明 f_θ 对一类数 α 的遍历性，该类数包含 [0,1] 中正 Hausdorff 维数的剩余集。f_α 的遍历性蕴含了存在 T 中满 Haar 测度的剩余集的 x，使得序列 {a_α(x,n)}_{n∈N} 是稠密的。