关于日本连分数的熵

我们考虑一个单参数扩张区间映射族 $\{T_{\alpha}\}_{\alpha \in [0,1]}$（日本连分数），其包含 Gauss 映射（$\alpha=1$）以及最近整数与过剩连分数映射（$\alpha={1/2},\alpha=0$）。我们证明这些映射的 Kolmogorov-Sinai 熵 $h(\alpha)$ 连续依赖于参数，且当 $\alpha \to 0$ 时 $h(\alpha) \to 0$。数值结果表明该收敛非单调，且熵函数具有无穷多次相变与自相似结构。最后，我们给出了映射 $T_{\alpha}$ 在 $\alpha=\frac{1}{n}$ 时的自然扩张与不变密度。