可数无限字母表上 Rényi 熵的若干性质

本文研究定义在 $\mathbb{Z}_+$ 上概率分布空间中的 Rényi 熵泛函 $H_\alpha(\mathcal{P})$ 的若干性质，主要讨论连续性与收敛性问题。所揭示的某些性质与有限字母表情形下的已知结果类似，而另一些则展现了无限情形下 Rényi 熵截然不同的行为。特别地，本文证明：对任意分布 $\mathcal P$ 及任意 $r\in[0,\infty]$，存在一列在全变差距离意义下收敛于 $\mathcal{P}$ 的分布 $\mathcal{P}_n$，使得 $\lim_{n\to\infty}\lim_{\alpha\to{1+}} H_\alpha(\mathcal{P}_n) = \lim_{\alpha\to{1+}}\lim_{n\to\infty} H_\alpha(\mathcal{P}_n) + r$。