面向离散概率分布的量子算法框架及其在 Rényi 熵估计中的应用

估计统计性质在统计学与计算机科学中是基础性问题。本文中，我们提出一个用于估计离散概率分布性质的统一量子算法框架，并以估计 Rényi 熵作为具体示例。特别地，给定一个制备 $n$ 维量子态 $\sum_{i=1}^{n}\sqrt{p_{i}}|i\rangle$ 的量子预言机，对于 $\alpha>1$ 与 $0<\alpha<1$，我们的算法框架分别以至少 $2/3$ 的概率、使用 $\widetilde{\mathcal{O}}(n^{1-\frac{1}{2\alpha}}/\epsilon + \sqrt{n}/\epsilon^{1+\frac{1}{2\alpha}})$ 与 $\widetilde{\mathcal{O}}(n^{\frac{1}{2\alpha}}/\epsilon^{1+\frac{1}{2\alpha}})$ 次查询，将 $\alpha$-Rényi 熵 $H_{\alpha}(p)$ 估计至加性误差 $\epsilon$ 以内。这改进了已知最优的关于 $\epsilon$ 的依赖关系以及 $n$ 与 $1/\epsilon$ 的联合依赖关系。在技术上，我们的量子算法结合了量子奇异值变换、量子退火与变时间振幅估计。我们相信我们的算法框架具有普遍意义并有广泛应用。