对称性要求对完全图上会合问题的影响

我们考虑一个经典的会合博弈，两名玩家试图在 $n$ 个位置集合上相遇。每轮中，每名玩家访问一个位置，当玩家在同一位置相遇时博弈结束。目标是为两名玩家设计策略以最小化会合前的期望等待时间。在非对称情形下，当玩家策略可以不同时，已知最优期望等待时间 $\frac{n+1}{2}$ 由“等妈妈”策略对实现：一名玩家在某位置停留 $n$ 轮，另一名玩家以随机顺序搜索全部 $n$ 个位置。然而，若要求玩家对称——即须遵循相同策略——则已知最佳策略由 Anderson 和 Weber 提出，其渐近期望等待时间为 $0.829 n$。我们证明对称性要求确实意味着期望等待时间需渐近大于非对称情形。确切地，我们证明对每个 $n\geqslant 2$，若玩家须采用相同策略，则期望等待时间至少为 $\frac{n+1}{2}+\varepsilon n$，其中 $\varepsilon=2^{-36}$。