关于有理平方数的分布

设 $a$ 为一个正整数，令 $\sigma(a)$ 表示使得一个整数平方位于 $s^2 a$ 和 $s^2 (a+1)$ 之间的最小自然数 $s$；令 $\tau_s(a)$ 表示此类整数平方的个数。本文研究了函数 $\sigma(a)$ 及序列 $(\tau_s(a))_{s \in \mathbb{Z}^+}$，并观察到它们呈现出令人惊讶的混沌行为。我们推导了 $\sigma(a)$ 的上下界，以及它们何时紧致的判据。