关于 $H^{*}((\mathbb Z_2)^{\times t}, \mathbb Z_2)$ 作为 Steenrod 环上模的维数

记 $\mathbb P$ 为有限域 $\mathbb Z_2$ 上单变量多项式代数，记 $\mathbb P^{\otimes t} = \mathbb Z_2[x_1, \ldots, x_t]$ 为其自身的 $t$ 重张量积。我们通过给每个生成元赋次数 $1$ 来对 $\mathbb P^{\otimes t}$ 分次。我们感兴趣的是确定不变量环 $(\mathbb P^{\otimes t})^{G_t}$ 作为 Steenrod 环 $\mathscr A_2$ 上模的一组极小生成元。此处 $G_t$ 是一般线性群 $GL(t, \mathbb Z_2)$ 的一个子群。一个等价问题是寻找“未被击中（unhit）”元素空间 $\mathbb Z_2\otimes_{\mathscr A_2} (\mathbb P^{\otimes t})^{G_t}$ 在每个 $t$ 和次数 $n\geq 0$ 下的单项基。该张量积的结构被证明异常困难，且对 $t\geq 5$ 即使对平凡子群 $G_t = \{e\}$ 也尚属未知。在本文中，我们考虑 $t \in \{5, 6\}$ 时的子群 $G_t = \{e\}$，并得到了关于某些次数下 $(\mathbb P^{\otimes t})^{G_t}$ 的 $\mathscr A_2$-生成元的一些新结果。同时，给出了它们的一些应用。我们还提供了 MAGMA 中用于验证结果的算法。本研究可理解为我们对 [23, 25] 中近期工作的延续。