关于互补映射循环结构的研究

Cohn 和 Kumar 证明，关于奇素数 $p$ 之上的左关联 Hurwitz 素数的类集合上的置换，通过 Hurwitz 素数 $\xi$ 的范数为 $q$ 的互补作用诱导，要么有 0 个固定点，要么有 1 个固定点，要么有 2 个固定点，且在非固定点上的置换 $\tau_{\xi,p}$ 分解为长度相同的循环。本文证明了如何用 $\mathbb{F}_p$ 上的循环多项式求解这些循环的长度。我们进一步证明，给定任意奇素数 $p$，总存在一个范数为 $q$ 的素数四元数 $\xi$，使得置换 $\tau_{\xi,p}$ 仅有一个非平凡循环，长度为 $p$。最后，我们给出若干素数 $\pi$ 的范数为 $p$ 为上述互补映射的固定点的条件。