关于加权 Bergman 空间的 Cauchy 变换

Napalkov (Jr) 和 Yulmukhametov 解决了描述 Jordan 域 G 的 Bergman 空间 B_2(G) 在 Cauchy 变换 K 下的值域问题。结果表明，当且仅当 G 为准圆盘时，K(B_2(G))=B_2^1(C\bar G) 成立；此处 B_2^1(C\bar G) 是 \bar G 补集的 Dirichlet 空间。关于可积 Jordan 域的 K(B_2(G)) 的描述见 [S. Merenkov, "On the Cauchy transform of the Bergman space", Mat. Fiz. Anal. Geom., 7 (2000), no. 1, 119-127]。本文针对权重 \omega 在 G 的 Green 函数等值线上为常数的加权 Bergman 空间 B_2(G,\omega)，给出了类似于上述 Merenkov 文献中描述的 K(B_2(G,\omega)) 刻画。在 G=D（单位圆盘）且权重 \omega 满足某些附加条件的情况下，有 K(B_2(D,\omega))=B_2^1(C\bar{D}, \omega^{-1})，即加权 Dirichlet 空间的类比。