有界对称域上加权 Bergman 内积的计算及子群下的 Parseval-Plancherel 型公式

设 $(G,G_1)=(G,(G^\sigma)_0)$ 为全纯型对称对，并考虑一对 Hermite 对称空间 $D_1=G_1/K_1\subset D=G/K$，分别实现为复向量空间 ${\mathfrak p}^+_1:=({\mathfrak p}^+)^\sigma\subset{\mathfrak p}^+$ 中的有界对称域。则 $G$ 的万有覆盖群 $\widetilde{G}$ 对足够大的 $\lambda$ 在 $D$ 上的加权 Bergman 空间 ${\mathcal H}_\lambda(D)\subset{\mathcal O}(D)={\mathcal O}_\lambda(D)$ 上酉作用。其对子群 $\widetilde{G}_1$ 的限制离散且无重数地分解，其分支律由 Hua-Kostant-Schmid-Kobayashi 公式通过 ${\mathfrak p}^+_2:=({\mathfrak p}^+)^{-\sigma}\subset{\mathfrak p}^+$ 上多项式空间 ${\mathcal P}({\mathfrak p}^+_2)$ 的 $\widetilde{K}_1$-分解显式给出。本文旨在通过研究 ${\mathcal P}({\mathfrak p}^+_2)\subset{\mathcal H}_\lambda(D)$ 中每个 $\widetilde{K}_1$-型上的加权 Bergman 内积来理解限制 ${\mathcal H}_\lambda(D)|_{\widetilde{G}_1}$ 的分解。例如，通过显式计算 $f=f(x_2)\in{\mathcal P}({\mathfrak p}^+_2)$ 的范数 $\Vert f\Vert_\lambda$，我们可确定 ${\mathcal H}_\lambda(D)|_{\widetilde{G}_1}$ 分解的 Parseval-Plancherel 型公式。此外，通过计算 $\langle f(x_2),{\rm e}^{(x|\overline{z})_{{\mathfrak p}^+}}\rangle_{\lambda,x}$ 对于 $f(x_2)\in{\mathcal P}({\mathfrak p}^+_2)$、$x=(x_1,x_2)$、$z\in{\mathfrak p}^+={\mathfrak p}^+_1\oplus{\mathfrak p}^+_2$ 的极点，我们也能获得关于非酉范围内 $\lambda$ 时 ${\mathcal O}_\lambda(D)|_{\widetilde{G}_1}$ 分支的一些信息。本文中我们对 ${\mathcal P}({\mathfrak p}^+_2)$ 中所有 $\widetilde{K}_1$-型考虑这些问题。