Hermitian 对称空间与正交多项式上的 Segal-Bargmann 变换

设 $\mathcal{D}=G/K$ 为复 Jordan 代数 $V$ 中的管型复有界对称域，并设 $\mathcal{D}_{\mathbb{R}}=H/L\subset \mathcal{D}$ 为其在形式实 Euclid Jordan 代数 $J\subset V$ 中的实形式。我们考虑 $H$ 的表示，这些表示由广义 Segal-Bargmann 变换从 $\mathcal{D}$ 上全纯函数的酉 $G$-空间得到 $L^2$-空间上 $\mathcal{D_{\mathbf{R}}}$ 的。我们证明在无界实现中，限制映射酉部分的逆实际上就是 Laplace 变换。我们找到了 $\mathcal{D}_{\mathbb{R}}$ 上球函数在 $\mathcal{D}$ 上的扩张，并给出了按 $\mathcal{D}$ 上 $L$-球多项式（即 Jack 对称多项式）的展开。我们证明系数为 $L^2$-空间中的正交多项式，其测度为 Harish-Chandra Plancherel 测度乘以 Berezin 变换的符号。我们通过考虑 Lie 代数作用与 Cayley 变换在 $\mathcal D$ 上多项式上的作用，证明了这些多项式的差分方程与递推关系。