单位群 $\mathbb{U}_N$ 上 Segal--Bargmann 变换的大 $N$ 极限

我们研究了单位群 $\mathbb{U}_N$ 上的（双参数）Segal--Bargmann 变换 $\mathbf{B}_{s,t}^N$ 在大 $N$ 时的行为。作用于在群的伴随作用下等变的矩阵值函数时，该变换在 $N\to\infty$ 时具有一个有意义的极限 $\mathscr{G}_{s,t}$，该极限可被识别为复 Laurent 多项式空间上的算子。我们引入了“迹多项式”空间，并利用它提供了确定热算子作用的有效计算方法，从而确定了 Segal--Bargmann 变换的作用。我们证明了若干测度集中定理和极限定理，建立了有限维变换 $\mathbf{B}_{s,t}^N$ 与其极限 $\mathscr{G}_{s,t}$ 之间的直接联系。我们通过算子 $\mathscr{G}_{s,t}$ 在标准多项式基上的逆作用对其进行了刻画。最后，我们表明在 $s=t$ 的情况下，极限变换 $\mathscr{G}_{t,t}$ 即为 Biane 引入的“自由 Hall 变换” $\mathscr{G}^t$。