联络空间的相干态变换

Segal-Bargmann 变换在线性场的量子理论中起着重要作用。最近，Hall 针对李群上的量子力学得到了该变换的非线性类比。给定一个紧致连通李群 $G$ 及其归一化 Haar 测度 $\mu_H$，Hall 变换是从 $L^2(G, \mu_H)$ 到 ${\cal H}(G^\Co)\cap L^2(G^\Co, \nu)$ 的等距同构，其中 $G^\Co$ 是 $G$ 的复化，${\cal H}(G^\Co)$ 是 $G^\Co$ 上的全纯函数空间，$\nu$ 是 $G^\Co$ 上的适当热核测度。通过将李群 $G$ 替换为模规范变换的联络空间 ${\cal A}/{\cal G}$（的某种扩展），我们将 Hall 变换推广到非阿贝尔规范理论的无限维情形。所得的“相干态变换”提供了实规范场和乐 $C^\star$ 代数的全纯表示。该表示有望在 4 维量子引力的非微扰正则方法中发挥关键作用。