关于图的 $2$-填充微分

设 $G$ 为阶为 $n(G)$、顶点集为 $V(G)$ 的图。给定集合 $S\subseteq V(G)$，我们定义 $S$ 的外部邻域为 $V(G)\setminus S$ 中所有在 $S$ 中至少有一个邻点的顶点组成的集合 $N_e(S)$。$S$ 的微分定义为 $\partial(S)=|N_e(S)|-|S|$。本文引入图的 $2$-填充微分的研究，将其定义为 $\partial_{2p}(G)=\max\{\partial(S): S\subseteq V(G) \text{ 是一个 }2\text{-填充}\}$。我们证明 $2$-填充微分与多个图参数密切相关，包括填充数、独立控制数、全控制数、完美微分和唯一响应罗马控制数。特别地，我们证明 $2$-填充微分理论是在不使用函数的情况下研究图的唯一响应罗马控制数的合适框架。在其他结果中，我们获得了一个 Gallai 型定理，指出 $\partial_{2p}(G)+\mu_{_R}(G)=n(G)$，其中 $\mu_{_R}(G)$ 表示 $G$ 的唯一响应罗马控制数。作为该研究的推论，我们导出了关于 $\mu_{_R}(G)$ 的若干组合结果，并证明求此参数的问题是 NP-难的。此外，还讨论了字典积图的特例。