从强微分到图中的意大利支配

给定图 $G$ 和顶点子集 $D\subseteq V(G)$，定义 $D$ 的外部邻域为 $N_e(D)=\{u\in V(G)\setminus D:\, N(u)\cap D\ne \varnothing\}$，其中 $N(u)$ 表示 $u$ 的开邻域。现在，给定子集 $D\subseteq V(G)$ 和顶点 $v\in D$，$v$ 相对于 $D$ 的外部私有邻域定义为 $epn(v,D)=\{u\in V(G)\setminus D: N(u)\cap D=\{v\}\}$。集合 $D\subseteq V(G)$ 的强微分定义为 $\partial_s(D)=|N_e(D)|-|D_w|$，其中 $D_w=\{v\in D: epn(v,D)\neq \varnothing\}$。本文我们聚焦于图的强微分的研究，其定义为 $$\partial_s(G)=\max \{\partial_s(D): D\subseteq V(G)\}.$$ 在其他结果中，我们获得了关于 $\partial_s(G)$ 的一般界，并证明了一个 Gallai 型定理，即 $\partial_s(G)+\gamma_{I}(G)=n(G)$，其中 $\gamma_{I}(G)$ 表示图 $G$ 的意大利支配数。因此，我们可以将图强微分理论视为意大利支配理论的一种新方法。这种方法的一个优势是它使我们能够在无需使用函数的情况下研究意大利支配数。正如可以预期的，我们推导出了关于图的意大利支配数的新结果。