关于基本群的特殊子群

假设 $\alpha$ 是一个非零基数，$\mathcal I$ 是弧连通拓扑空间 $X$ 上的一个理想，且 ${\mathfrak P}_{\mathcal I}^\alpha(X)$ 是 $\pi_1(X)$（$X$ 的第一基本群）的子群，由 $\alpha\frac{\mathcal I}{}$环路的同伦类生成。本文的主要目标是研究并比较 ${\mathfrak P}_{\mathcal I}^\alpha(X)$。最关注的是 $\alpha\in\{\omega,c\}$ 与 $\mathcal I\in\{\mathcal P_{fin}(X),\{\varnothing\}\}$ 的情形，其中 $\mathcal P_{fin}(X)$ 表示 $X$ 的所有有限子集的集合。我们将 ${\mathfrak P}_{\{\varnothing\}}^\alpha(X)$ 记为 ${\mathfrak P}^\alpha(X)$。我们证明如下结论：• 对于弧连通拓扑空间 $X$ 和 $Y$，若对所有无限基数 $\alpha$ 有 ${\mathfrak P}^\alpha(X)$ 同构于 ${\mathfrak P}^\alpha(Y)$，则 $\pi_1(X)$ 同构于 $\pi_1(Y)$；• 存在弧连通拓扑空间 $X$ 和 $Y$ 使得 $\pi_1(X)$ 同构于 $\pi_1(Y)$ 但 ${\mathfrak P}^\omega(X)$ 不同构于 ${\mathfrak P}^\omega(Y)$；• 对于弧连通拓扑空间 $X$，我们有 ${\mathfrak P}^\omega(X)\subseteq{\mathfrak P}^c(X) \subseteq\pi_1(X)$；• 对于夏威夷耳环 $\mathcal X$，${\mathfrak P}^\omega({\mathcal X})$、${\mathfrak P}^c({\mathcal X})$ 与 $\pi_1({\mathcal X})$ 两两不同。因此 ${\mathfrak P}^\alpha(X)$ 与 ${\mathfrak P}_{\mathcal I}^\alpha(X)$ 将有助于我们对所有具有同构基本群的弧连通拓扑空间类进行分类。