关于自同伦等价群的一个特定数值

对于连通基点空间 $X$，令 $[X,X]$ 为保持基点的 $X$ 的自映射的所有基于同伦类的集合，令 $\E(X)$ 为 $X$ 的自同伦等价群。我们将 $\A_{\sharp}^k(X)$ 记为 $X$ 的自映射的同伦类集合，这些映射对 $i=0,1,\cdots,k$ 诱导 $\pi_i(X)$ 的自同构。即，$[f]\in \A_{\sharp}^k(X)$ 当且仅当 $\pi_i(f):\pi_i(X)\to\pi_i(X)$ 对 $i=0,1,\cdots ,k$ 是同构。于是，对于非负整数 $k$，有 $\E(X)\subseteq\A_{\sharp}^k(X)\subseteq [X,X]$。此外，对于连通 CW-复形 $X$，我们有 $\E(X)=\A_{\sharp}(X)$。在本文中，我们研究 $\A_{\sharp}^k(X)$ 的性质，讨论 $\E(X)=\A_{\sharp}^k(X)$ 成立的条件以及此类 $k$ 的最小值。进一步，我们确定了各种空间（包括球面、空间积和 Moore 空间）的 $k$ 值。