主纤维化序列与第二同伦上同调集

设 $p:E \to B$ 是一个主纤维化，其分类映射为 $w:B \to C$。众所周知，群 $[X,\Omega C]$ 作用于 $[X,E]$，其轨道空间是 $p_\#$ 的像，其中 $p_\#: [X,E] \to [X,B]$。将 $X$ 映射到 $E$ 的基点的映射的迷向子群也已知是 $[X, \Omega B]$ 的像。其他映射 $e:X \to E$ 的迷向子群会随着 $e$ 的变化而确实改变。将 $f$ 提升到 $B$ 上的自由环路空间的同伦类集合构成一个群。如果 $f$ 有一个提升到 $E$，则集合 $p_\#^{-1}(f)$ 等同于从该提升群到 $[X, \Omega C]$ 的一个自然同态的余核。作为一个例子，当 $X$ 是一个 4-复形时，我们枚举了 $[X,S^2]$。