特殊二重覆盖的分类

从一个闭可定向曲面 $F_g$ ($g\ge 1$) 上的 $O(2)$-主纤维化出发，当单值将纤维 $SO(2) = S^1$ 映到 $Z_2$ 的非平凡元素时，全空间的二重覆盖被称为特殊的。通过改编 D. Johnson 的方法 [Spin structures and quadratic forms on surfaces, J London Math Soc, 22 (1980) 365-373]，我们定义了辛同构群 $Sp(Z_2,2g)$（即 $(H_1(F_g;Z_2),\cdot)$ 的辛同构群）在特殊二重覆盖集合上的作用，该作用有两个轨道，一个包含 $2^{g-1}(2^g+1)$ 个元素，另一个包含 $2^{g-1}(2^g-1)$ 个元素。这两个轨道是通过考虑 Arf 不变量以及由 Fox 微积分导出的派生矩阵的某些同余关系得到的。$Sp(Z_2,2g)$ 被描述为两个子群的共轭类的并集，每个子群固定一个特殊二重覆盖。这两个子群的生成元被明确给出。