任意判别式的奇异模

Kristin Lauter; Bianca Viray

doi:10.1093/imrn/rnu223

任意判别式的奇异模

数论 2015-07-28 v2

作者: Kristin Lauter , Bianca Viray

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摘要

设 $d_1$ 和 $d_2$ 为两个不同虚二次序 $O_{d_1}$ 和 $O_{d_2}$ 的判别式，令 $J(d_1,d_2)$ 表示具有判别式 $d_1$ 和 $d_2$ 的 CM $j$ -不变量之差的乘积。1985 年，Gross 和 Zagier 给出了当 $d_1$ 和 $d_2$ 互素且为极大序判别式时，整数 $J(d_1,d_2)$ 分解的一个优美公式。为了计算该公式，他们首先将问题归约为计算 $O_{d_1}$ 和 $O_{d_2}$ 同时嵌入到超奇异曲线自同态环中的次数，然后解决了这一计数问题。有趣的是，这一计数问题也出现在计算 genus 2 曲线不变量的类多项式时。然而，在此应用中，必须考虑非极大序 $O_{d_1}$ 和 $O_{d_2}$ 。受 genus 2 曲线应用的启发，我们推广了 Gross 和 Zagier 的方法，并给出了对于任意不同判别式对 $d_1, d_2$ 和任意素数 $p>2$ 的 $v_p(J(d_1,d_2))$ 的可计算公式。在 $d_1$ 无平方因子且 $d_2$ 为任意虚二次序判别式的情况下，我们的公式可以表述为简单的闭形式。我们还给出了当 $d_1$ 和 $d_2$ 的导子互素时的猜想闭形式公式。

关键词

奇异模 CM $j$-不变量判别式 Gross-Zagier 公式超奇异曲线 genus 2 曲线类多项式

引用

@article{arxiv.1206.6942,
  title  = {On singular moduli for arbitrary discriminants},
  author = {Kristin Lauter and Bianca Viray},
  journal= {arXiv preprint arXiv:1206.6942},
  year   = {2015}
}

备注

33 pages. Changed the abstract and made small changes to the introduction. Reorganized section 3.2, 4, and proof of Proposition 8.1. Some remarks added to section 7

任意判别式的奇异模

摘要

关键词

引用

备注

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