通过经典不变量理论得到素数阶模循环群的不变量

设 $F$ 为任意特征为 $p$ 的域。众所周知，在 $F$ 上恰好存在 $p$ 个不等价的不可分解 $C_p$ 表示 $V_1,V_2,...,V_p$。因此，若 $V$ 是任意有限维 $C_p$ 表示，则存在非负整数 $0\leq n_1,n_2,..., n_k \leq p-1$ 使得 $V \cong \oplus_{i=1}^k V_{n_i+1}$。同样众所周知，存在一个唯一的（在等价意义下）$d+1$ 维 $\SL_2(\C)$ 不可约复表示，由其在 $d$ 次形式空间 $R_d$ 上的作用给出。在此我们证明了由 R.J. Shank 提出的一个猜想，该猜想将 $C_p$ 不变量环 $F[ \oplus_{i=1}^k V_{n_i+1}]^{C_p}$ 的计算归结为经典不变量（或协变量）环 $\C[R_1 \oplus (\oplus_{i=1}^k R_{n_i})]^{\SL_2(\C)}$ 的计算。这表明计算模 $C_p$ 不变量的问题等价于计算经典 $\SL_2(\C)$ 不变量的问题。这使我们能够首次计算 $C_p$ 的许多表示的不变量环。特别地，我们由此容易地得到向量不变量环 $F[m V_2]^{C_p}$、$F[m V_3]^{C_p}$ 和 $F[m V_4]^{C_p}$（对所有 $m \in \N$）的生成元。这是后两个不变量环族的首次计算。