素数阶循环群的二维模表示的不变量

本文研究了特征为$p$的域${\bf{F}}$上$p$阶循环群$C_p$的二维不可分解表示$V_2$的向量不变量${\bf{F}}[m V_2]^{C_p}$。这个不变量环最早由David Richman \cite{richman}研究，他证明该环需要一个次数为$m(p-1)$的生成元，从而表明Noether在特征0下的结果（有限群的不变量环总是由次数小于等于群阶的元素生成）不适用于模情形。他还猜想一组特定的不变量是一个生成集，并在$p=2$的情况下给出了证明。该猜想由Campbell和Hughes在\cite{campbell-hughes}中证明。后来，Shank和Wehlau在\cite{cmipg}中确定了Richman生成集中哪些元素是冗余的，从而给出了一个极小生成集。我们给出了Campbell和Hughes、Shank和Wehlau结果的一个新证明，为不变量环${\bf{F}}[m V_2]^{C_p}$给出了一个极小代数生成集。事实上，我们的证明远不止于此。我们证明了我们的极小生成集也是${\bf{F}}[m V_2]^{C_p}$的一个SAGBI基。此外，我们的技术还用于给出${\bf{F}}[m V_2]$到不可分解$C_p$模直和的一个显式分解。最后，注意到我们在$V_2$上的$C_p$表示是$SL_2({\bf F}_p)$的$p$-Sylow子群，我们能够确定${\bf{F}}[m V_2]^{SL_2({\bf F}_p)}$的不变量环的一个生成集。