全实域上四元数代数的格罗斯-扎吉尔公式

我们证明了格罗斯和扎吉尔关于奇异模量差分解定理的一个高维推广。他们的结果是通过给出一个计数公式来证明的，该公式用于计算当椭圆曲线被约化到一个超奇异素数及其幂次时，具有两个不同虚二次域 $K$ 和 $K^\prime$ 的复乘椭圆曲线之间的同构数目。等价地，格罗斯-扎吉尔公式计算了将虚二次域的整数环最优嵌入到 $B_{p, \infty}$（即仅在 $p$ 和无穷远处分歧的 $\QQ$ 上定四元数代数）中特定极大序的数目。我们的工作给出了一个类似的计数公式，用于计算将本原 CM 域的整数环同时嵌入到严格类数为 1 的全实域上定四元数代数中超特殊序的数目。我们的结果也可视为一个计数公式，用于计算具有不同域 CM 的阿贝尔簇在模 $\frak{p} | p$ 下的同构数目。我们的计数公式还可用于确定哪些超特殊素数会出现在与两个不同 CM 域相关的 CM 点处西格尔模函数值之差的分解中，并给出可能出现的超奇异素数的一个界。在亏格 2 曲线雅可比簇的特殊情况下，这提供了关于 Igusa 不变量分子分解的信息，因此也与构造用于密码学的亏格 2 曲线问题相关。