关于 $f$-多项式与 $f^{+}$-多项式零点之间的关系

设 $\Phi$ 为类型 $P$ 的秩为 $l$ 的不可约（可能非晶体学）根系。对于相应的簇复形 $\Delta(P)$，已知其为纯 $(l-1)$-维单纯复形，我们定义了 $\Delta(P)$ 中维数为 $i-1$ 的面数的生成函数，称之为 {\it $f$-多项式}。我们证明 $f$-多项式在区间 $(0, 1)$ 上恰好有 $l$ 个单重实零点，并且对于类型 $A_l$、$B_l$ 和 $D_l$ 的无穷系列，其最小根随着秩 $l$ 趋于无穷而单调递减收敛于零。我们还考虑了复形 $\Delta(P)$ 的正部分 $\Delta_{+}(P)$ 中维数为 $i-1$ 的面数的生成函数（称为 {\it $f^{+}$-多项式}），其零点均为实且单重，并位于区间 $(0, 1]$ 内，包括在 $t=1$ 处的一个单根。我们证明 $f^{+}$-多项式的降序根 $\{ t^{+}_{P, \nu+1} \}_{\nu=1}^{l-1}$ 与 $f$-多项式的降序根 $\{ t_{P, \nu} \}_{\nu=1}^{l}$ 交替出现。