根系 zeta 函数与 Weyl 群的 Poincaré 多项式

我们考虑根系 zeta 函数的一种特定线性组合 $S(\mathbf{s},\mathbf{y};I;\Delta)$，其中 $\Delta$ 是一个秩为 $r$ 的根系，且 $I\subset\{1,2,\ldots,r\}$。通过展示 $S(\mathbf{s},\mathbf{y};I;\Delta)$ 的两种不同表达式，我们发现根系 zeta 函数的某种带符号和等于一个包含根系 Bernoulli 函数的和。如果该带符号和不恒为零，则此恒等式给出了根系 zeta 函数之间的一个非平凡函数关系。这是对作者先前在 \cite{KMTLondon} 中证明的 $I=\emptyset$ 情形结果的推广。我们给出了此类函数关系的几个显式例子。给出了该带符号和非零的一个判据，该判据用相关 Weyl 群的 Poincaré 多项式表示。此外，我们证明了一个逆向定理，该定理表明 $I=\emptyset$ 情形的生成函数本质上包含了关于一般 $I$ 的生成函数的所有信息。