关于仿微分算子中的仿复合与变量替换

在本文中，我们重访定义“仿复合”算子所需的假设，该算子是低正则性设定下经典拉回操作的类比，最初由 S. Alinhac 在 [3] 中引入。更确切地说，我们从两个方向进行。首先我们去掉微分同胚假设。其次我们在整体 Sobolev 与 Zygmund 空间中给出估计。从而我们完全推广了 Bony 经典的仿线性化定理，给出了 Sobolev 与 Zygmund 空间中复合的尖锐估计。为证明这类新运算在与一个仿微分算子复合时具有符号演算性质，我们讨论了伪微分与仿微分算子的拉回，其随后成为 Fourier 积分算子。在此讨论中我们表明，由拉回得到的那些 Fourier 积分算子当且仅当被一个作为变量替换的微分同胚拉回时，才是伪微分或仿微分算子。我们给出了仿微分算子中变量替换的一个证明。最后我们研究定义仿微分算子的截断及其在连续复合下的稳定性。已知截断在每次复合后变差，我们给出了 H\"ormander 在 [14] 中提出的截断的一个稍加改进的版本，并对此给出了复合后截断支撑集的最优估计。