抛物几何中的多个 Dirac 算子

在本文中，我们证明了一个微分算子序列的存在性，该序列始于 $k$ 个 Clifford 变量中的 Dirac 算子 $D=(D_1,..., D_k)$，其中 $D_i=\sum_j e_j\cdot \partial_{ij}: C^\infty((\R^n)^k,\S)\to C^\infty((\R^n)^k,\S)$（$\S$ 为旋量模）。当 $n=2$ 时，该算子即为 Cauchy-Riemann 算子，其解消为 Dolbeault 复形。对于更高的 $n$，$D$ 的解消一般而言尚不清楚。虽然这一问题曾在 Clifford 分析的框架下被多次讨论且已知部分结果，但我们在抛物几何（一种以 $G/P$ 为模型的 Cartan 几何的特殊类型，其中 $P$ 是 $G$ 的抛物子群）中给出了该算子的描述。我们构造了始于多变量 Dirac 算子的不变微分算子序列，并假设这些序列在某些情况下与解消重合。我们精确描述了维度 $n$ 为奇数时这些序列的结构，并猜想当 $n$ 为偶数且 $k\leq n/2$（即所谓的{\it 稳定范围}）时，这些序列具有类似的结构。我们还给出了 $n$ 为偶数且 $k>n/2$ 时关于这些序列的一些信息。在最后一章中，推导了 $k=2$ 情形下算子的显式公式。