关于对称群的抛物型 Kazhdan-Lusztig R-多项式

抛物型 $R$-多项式由 Deodhar 引入，作为 Kazhdan 和 Lusztig 定义的普通 $R$-多项式的抛物型类比。本文关注对称群上抛物型 $R$-多项式的计算。设 $S_n$ 为 $\{1,2,\ldots,n\}$ 上的对称群，设 $S=\{s_i\,|\, 1\leq i\leq n-1\}$ 为 $S_n$ 的生成集，其中对于 $1\leq i\leq n-1$，$s_i$ 为相邻对换。对于子集 $J\subseteq S$，设 $(S_n)_J$ 为由 $J$ 生成的抛物子群，设 $(S_n)^{J}$ 为 $S_n/(S_n)_J$ 的极小陪集代表元集。对于 Bruhat 序中的 $u\leq v\in (S_n)^J$ 及 $x\in \{q,-1\}$，用 $R_{u,v}^{J,x}(q)$ 表示由 $u$ 和 $v$ 索引的抛物型 $R$-多项式。Brenti 在 $J=S\setminus\{s_i\}$ 时找到了 $R_{u,v}^{J,x}(q)$ 的公式，并在 $J=S\setminus\{s_{i-1},s_i\}$ 时获得了 $R_{u,v}^{J,x}(q)$ 的表达式。我们在 $J=S\setminus\{s_{i-2},s_{i-1},s_i\}$ 的情况下，为 $(S_n)^J$ 中的置换对引入了一个统计量。随后，我们给出了 $R_{u,v}^{J,x}(q)$ 的公式，其中 $J=S\setminus\{s_{i-2},s_{i-1},s_i\}$ 且 $i$ 在 $v$ 中出现在 $i-1$ 之后。我们还针对 $R_{u,v}^{J,x}(q)$ 提出了一个猜想，其中 $J=S\setminus\{s_{k},s_{k+1},\ldots,s_i\}$，$1\leq k\leq i\leq n-1$，且元素 $k+1,k+2,\ldots, i$ 在 $v$ 中按递增顺序出现。