Kazhdan-Lusztig R-多项式反演公式的组合证明

设 $W$ 为一个 Coxeter 群，对于 $u,v\in W$，令 $R_{u,v}(q)$ 为由 $u$ 和 $v$ 索引的 Kazhdan-Lusztig $R$-多项式。本文给出了 Kazhdan 和 Lusztig 提出的 $R$-多项式反演公式的一个组合证明。该问题由 Brenti 提出。基于 Dyer 关于 $R$-多项式的递增 Bruhat 路径组合解释，我们将反演公式重新表述为 $V$-路径的形式。从 $u$ 到 $v$ 且底部为 $w$ 的 $V$-路径是指一对 Bruhat 路径 $(\Delta_1,\Delta_2)$，其中 $\Delta_1$ 是从 $u$ 到 $w$ 的递减路径，$\Delta_2$ 是从 $w$ 到 $v$ 的递增路径。我们发现了 $V$-路径上的一个反射原理，由此导出了反演公式的一个组合证明。此外，我们给出了反射原理的两个应用。首先，我们将该对合限制在从 $u$ 到 $v$ 且长度最大的 $V$-路径上，这直接解释了任意非平凡区间 $[u,v]$ 中偶数长度元素与奇数长度元素个数相等的等分布性质。该性质由 Verma 在推导 Bruhat 序的 Möbius 函数时得到。其次，利用对称群上的反射原理，我们通过将求和限制在以给定元素结尾的置换上，得到了反演公式的一个细化。