关于局部上同调模的自然同态

设$M$是有限维交换Noetherian局部环$(R,\mathfrak{m})$上的非零有限生成模，且dim$_R(M)=t$。设$I$是$R$的一个理想，且grade$(I,M)=c$。在本文中，我们将研究局部上同调模的几个自然同态。本文的主要目的是研究自然同态Tor$^R_c(k,H^c_I(M))\to k\otimes_R M$和Ext$^{d}_R(k,H^c_I(M))\to {\rm Ext}^t_R(k, M)$是非零的，其中$d:=t-c$。事实上，对于Cohen-Macaulay模$M$，我们将在Ext模消失的附加假设下证明同态Ext$^d_R(k,H^c_I(M))\to {\rm Ext}^t_R(k, M)$是单射（或满射）当且仅当同态$H^{d}_{\mathfrak{m}}(H^c_{I}(M))\to H^t_{\mathfrak{m}}(M)$是单射（或满射）。对于同态Tor$^R_c(k,H^c_I(M))\to k\otimes_R M$也得到了类似的结果。此外，对于满足$c = {\rm grade}(I,M)= {\rm grade}(J,M)$的理想$J\subseteq I$，我们构造了自然同态${\rm Tor}^R_c(k, H^c_I(M))\to {\rm Tor}^R_c(k, H^c_J(M))$。给出了几个关于$I$和$J$的充分条件来证明该同态是同构。