关于欧几里得空间的 Nash 像

在本工作中，我们刻画了作为 Nash 映射$f:{\mathbb R}^m\to{\mathbb R}^n$的像的${\mathbb R}^n$的子集。我们证明了 Shiota 猜想，并表明子集${\mathcal S}\subset{\mathbb R}^n$是 Nash 映射$f:{\mathbb R}^m\to{\mathbb R}^n$的像，当且仅当${\mathcal S}$是半代数的、纯维数为$d\leq m$，且存在一条解析路径$\alpha:[0,1]\to{\mathcal S}$，其像与${\mathcal S}$的正则点集的所有连通分支相交。一些显著的推论如下：(1) 具有弧对称闭包的$d$维纯维数不可约半代数集是${\mathbb R}^d$的 Nash 像；(2) 半代数集是其连通分支 Nash 微分同胚于欧几里得空间的不可约代数集的投影；(3) 带边界的紧$d$维光滑流形是${\mathbb R}^d$的光滑像。