有理数域上的 Nash-Tognoli 定理及其孤立奇点版本

设 $\mathbb{Q}$ 为有理数域，$X$ 为 $\mathbb{R}^n$ 的子集。若 $X$ 是 $\mathbb{Q}[\mathtt{x}_1,\ldots,\mathtt{x}_n]$ 中一族多项式在 $\mathbb{R}^n$ 中的公共零点集，则称 $X$ 为 $\mathbb{Q}$-代数的。若 $X$ 是 $\mathbb{Q}$-代数的且维数为 $d$，则对所有 $a\in X$，若存在 $a$ 在 $\mathbb{R}^n$ 中的邻域 $U$ 以及 $f_1,\ldots,f_{n-d}\in\mathbb{Q}[\mathtt{x}_1,\ldots,\mathtt{x}_n]$，使得 $\nabla f_1(a),\ldots,\nabla f_{n-d}(a)$ 线性无关且 $X\cap U=\{x\in U:f_1(x)=0,\cdots,f_{n-d}(x)=0\}$，则称 $X$ 为 $\mathbb{Q}$-非奇异的。著名的 Nash-Tognoli 定理断言如下：若 $M$ 是维数为 $d$ 的紧光滑流形且 $\psi:M\to\mathbb{R}^{2d+1}$ 是光滑嵌入，则 $\psi$ 可被任意接近的光滑嵌入 $\phi:M\to\mathbb{R}^{2d+1}$ 逼近，其像 $\phi(M)$ 是 $\mathbb{R}^{2d+1}$ 中的非奇异代数子集。在本文中，我们证明 $\phi$ 可被选取使得 $\phi(M)$ 是 $\mathbb{R}^{2d+1}$ 中的 $\mathbb{Q}$-非奇异 $\mathbb{Q}$-代数子集。这首次保证了在光滑微分同胚意义下，每个紧光滑流形 $M$ 均可由有限多个精确数据（如 $\mathbb{Q}[\mathtt{x}_1,\ldots,\mathtt{x}_{2d+1}]$ 中在 $\phi(M)$ 上为零的多项式理想的有限生成元组）全局与局部地描述。我们将结果推广至奇点情形，证明每个具有有限多个奇点的实代数集均半代数同胚于具有相同奇点个数的 $\mathbb{Q}$-代数集。