Nobile 定理的实数与双 Lipschitz 版本

著名的 Nobile 定理由 Nobile 于 1975 年证明，指出纯维复解析集 $X$ 是解析光滑的，当且仅当其 Nash 变换 $\eta: \mathcal{N}(X) \to X$ 是一个解析同构。虽然 Nobile 定理在复几何中具有基础性地位，但 50 年来该定理对于实解析集是否成立一直是一个悬而未决的问题，对于仅要求 $C^{k}$ 光滑性的情况更是如此。本文给出了 Nobile 定理实数版本的证明，甚至在 $C^{k}$ 光滑条件下也成立。具体而言，我们证明对于纯维实解析集 $X$，以下陈述是等价的：(1) $X$ 是一个实解析（相应地，$C^{k+1,1}$）子流形；(2) 映射 $\eta\colon\mathcal{N}(X)\to X$ 是一个实解析（相应地，$C^{k,1}$）微分同胚；(3) 映射 $\eta\colon\mathcal{N}(X)\to X$ 是一个 $C^{\infty}$（相应地，$C^{k,1}$）微分同胚；(4) $X$ 是一个 $C^{\infty}$（相应地，$C^{k+1,1}$）子流形。因此，我们证明了 Nobile 定理的双 Lipschitz 版本，证明了一个复解析集 $X$ 是解析光滑的，当且仅当其 Nash 变换 $\eta\colon \mathcal{N}(X)\to X$ 是一个局部双 Lipschitz 的同胚。本文还给出了该定理的一个尖锐版本，它在 o-minimal 结构中局部可定义集的更一般设定下也成立。