可定义集合的光滑性、切向锥与度量几何

本文提出了可定义集合 C^1 光滑性用以其切向锥及其他度量属性的若干确定性表征。特别是，我们恢复了 Ghomi 和 Howard（2014）以及 Kurdyka、Le Gal 和 Nhan（2018）所呈现的美妙表征。例如，我们证明对于任意 $X\subset \mathbb{R}^n$ 为 o-minimal 结构中局部闭 $d$ 维可定义集，以下条目等价：(1) $X$ 为 Lipschitz 正常嵌入（LNE），$C_3(X,p)$ 对任意 $p\in X$ 为 $d$ 维线性子空间且对 $p$ 连续依赖；(2) 对每个 $p\in X$，$X$ 在 $p$ 处为 Lipschitz 正则，$C_4(X,p)$ 为 $d$ 维线性子空间；(3) $X$ 为拓扑流形，且对每个 $p\in X$，$X$ 在 $p$ 处为 LNE 且 $C_4(X,p)=C_3(X,p)$；(4) $X$ 为拓扑流形，$C_5(X,p)$ 对任意 $p\in X$ 为 $d$ 维子集；(5) $X$ 为 $C^1$ 光滑。