动力学的 Mordell-Lang 与爆破的自同构

我们证明，若 $\phi : X \to X$ 是光滑射影簇的一个自同构，且 $D \subset X$ 是一个不可约除子，使得 $D$ 中满足存在非零 $n$ 令 $\phi^n(d) \in D$ 的点集不是 Zariski 稠密的，则 $(X, \phi)$ 允许一个到曲线的等变有理纤维化。作为推论，我们证明了某些爆破（例如高余维数处的爆破）不会改变 $\textrm{Aut}(X)$ 的有限性，从而推广了 Bayraktar-Cantat 的结果。我们还推广了 Arnol'd 关于在自同构下簇与另一簇的迭代相交重数增长的结果。这些结果源于动力学的 Mordell-Lang 猜想的一个非既约类比。具体而言，设 $\phi : X \to X$ 是特征为零的域 $k$ 上光滑射影簇 $X$ 的一个 \'etale 态射（\'etale 自同态）。我们证明，若 $Y$ 和 $Z$ 是 $X$ 的两个闭子概型，则集合 $A_\phi(Y,Z) = \{n : \phi^n(Y) \subseteq Z\}$ 是一个有限集与有限个剩余类的并，其模由 $Y$ 的几何性质所界定。