关于闭球的多项式像

本文探讨了确定 ${\mathbb R}^n$ 的哪些（紧）半代数子集是多项式映射 $f:{\mathbb R}^m\to{\mathbb R}^n$ 下以某个欧几里得空间 ${\mathbb R}^m$ 原点为中心的闭单位球 $\overline{{\mathcal B}}_m$ 的像的问题，以及（在可能的情况下）估计具有此性质的最小 $m$ 的问题。与多项式映射下 ${\mathbb R}^m$ 的像的情况相反，提供闭单位球的多项式像的半代数集的基本例子是相当直接的。例如，单纯形、柱体、超立方体、椭圆、抛物线或双曲线段（维度为 $n$）是 ${\mathbb R}^n$ 中闭单位球的多项式像。前面的例子（以及文章中提出的其他基本例子）提供了一个大的 `$n$-砖块' 族，我们找到了保证有限个 `$n$-砖块' 的并集再次是维度为 $n$ 或 $n+1$ 的闭单位球的多项式像的充分必要条件。在这个方向上，我们证明了：{\em 有限个 $n$ 维凸多面体的并集 ${\mathcal S}$ 是 $n$ 维闭单位球 $\overline{{\mathcal B}}_n$ 的像当且仅当 ${\mathcal S}$ 是解析路径连通的}。前面的结果可以使用前面提到的 `$n$-砖块' 进行推广，我们证明了：{\em 如果 ${\mathcal S}_1,\ldots,{\mathcal S}_\ell\subset{\mathbb R}^n$ 是 `$n$-砖块'，则并集 ${\mathcal S}:=\bigcup_{i=1}^\ell{\mathcal S}_i$ 是多项式映射 $f:{\mathbb R}^{n+1}\to{\mathbb R}^n$ 下 ${\mathbb R}^{n+1}$ 的闭单位球 $\overline{{\mathcal B}}_{n+1}$ 的像当且仅当 ${\mathcal S}$ 是解析路径连通的}。