关于谱面体描述大小的两个结果

谱面体是由线性矩阵不等式定义的一个集合。给定一个谱面体，我们关注通过线性矩阵不等式描述时矩阵的最小可能大小 $r$ 的问题。我们证明，对于 $n$ 维单位球，$r$ 至少为 $\frac{n}{2}$。若 $n=2^k+1$，则实际上有 $r=n$。对于任意 $\mathbb{R}^n$ 中由二次多项式定义的紧凸集，同样成立。此外，我们证明对于 $\mathbb{R}^3$ 中代数边界光滑且由三次多项式定义的凸区域，$r$ 至少为五。更确切地说，我们证明若 $A,B,C$ 为实对称矩阵，使得 $f(x,y,z)=\det(I+A x+B y+C z)$ 为三次多项式，则具有仿射方程 $f(x,y,z)=0$ 的复三维射影空间中的曲面是奇异的。