关于线性微分方程的不变流形. II

这是前一篇文章的续篇。对于所考虑微分方程的不变流形子空间$M^n(t)$和$M^{n-m}(t)$，我们构造了一个变量变换，将该方程分解为两个独立方程的系统。引入了不同阶线性微分方程等价的概念。给出了这种等价的必要和充分条件。这些结果被应用于具有周期T的周期系数线性方程的Flocke-Lyapunov理论。当方程的单值矩阵具有负特征值时，在$R^m$中约化为常系数方程只有在约化矩阵周期加倍的情况下才可能，我们证明了借助一个无需周期加倍的实矩阵，可以在$R^m$中分离出具有负特征值单值矩阵的方程。对于周期系数方程的解的基本矩阵$X(t), X(t)=E$，我们找到了表示$X(t)=\Phi(t)e^{Ht}\Phi^{+}(0)$，其中$H$和$\Phi(t), \Phi(t)=\Phi(t+T)$是实矩形矩阵。我们给出了这些结果的两个应用：1) 将$R^n$中具有周期为T的线性部分的非线性微分方程约化为$R^m, m>n$中具有常系数矩阵线性部分的方程；2) 在自治微分方程周期轨道邻域内引入幅相坐标，并分离出具有常系数矩阵的线性部分。